Deret Aritmatika, dari Pengertian, Contoh Soal, dan Kuisnya

Deret aritmatika dan barisan aritmatika adalah dua hal yang berbeda. Tapi kadang sebagian dari siswa menganggap sama. Mungkin disebabkan karena antara barisan aritmatika dan deret bilangan juga mempunyai persamaan. Sedangkan perbedaannya antara keduanya tipis sekali.

Lalu, apakah kamu juga menganggapnya juga sama? Jika iya, persamaannya di mana dan perbedaannya di mana?

Baiklah, kali ini saya akan menjelaskan apa itu deret aritmatika, rumus deret aritmatika, dan contoh soal yang berkaitan dengan deret aritmatika.

Setelah itu, saya juga akan memberikan sebuah kuis yang bisa Anda kerjakan dan langsung dapat diketahui hasilnya.

Oke, kita bahas satu persatu ya…

1# Pengertian Barisan dan Deret Aritmatika

Sebelum memahami apa itu deret bilangan, terlebih dahulu saya jelaskan tentang apa itu barisan bilangan dan apa itu barisan aritmatika.

Barisan Bilangan : kelompok bilangan yang mempunyai pola tertentu atau aturan tertentu.

Barisan Aritmatika : barisan yang mempunyai beda suku yang berdekatan selalu sama.

Contoh:

2       4        6        8        10        12 .

barisan bilangan di atas, mempunyai beda atau selisih 2 antara dua suku barisan yang berurutan.

Penjelasan:

2 merupakan suku pertama. Selanjutnya disebut U₁ = a

4 merupakan suku kedua. Selanjutnya disebut U₂

beda atau ditulis dengan b yaitu selisih antara dua suku barisan yang berurutan.

Dalam contoh tersebut, b = U₂ – U₁ = 4 – 2 = 2

Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika (sebagian ada yang menulis barisan aritmatika)

Sedangkan Deret Aritmetika (ada juga yang menulis dengan deret aritmatika) yaitu jumlah suku-suku pada barisan aritmatika. 

Dari contoh di atas, deret bilangannya adalah U₁ + U₂+ U₃ + U₄ + U₅ + U₆

= 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12

= 42.

Jadi kesimpulannya adalah deret aritmatika dan barisan aritmatika adalah suatu yang tidak dapat dipisahkan. Barisan aritmatika adalah barisan yang mempunyai beda suku yang berdekatan selalu sama. Sedangkan deret aritmatika merupakan jumlah suku-suku pada barisan aritmatika itu sendiri.

Ibarat dua sisi mata uang, deret aritmatika adalah sisi mata uang, sedangkan barisan aritmatika adalah sisi mata uang yang lainnya.

 

2# Rumus Deret Aritmatika

Untuk mempelajari tentang rumus aritmatika tentu tidak bisa dilepaskan dengan rumus barisan aritmatika. Karenanya, pada pembahasan kali ini saya akan tulis lengkap rumus yang berkaitan dengan barisan aritmatika.

Dan tentu saja, saya tidak ingin kamu hanya hafal rumus tanpa memahami dari mana rumus tersebut berasal.

Sehingga, kali ini saya ingin mengajakmu untuk menemukan rumus tersebut step by step agar ingatan dan pemahamanmu terhadap materi ini bisa lebih bermakna.

Sudah siap?

Jika sudah, cermati kembali contoh ini:

2       4        6        8        10        12

rumus barisan tersebut adalah :

b = U₂ – U₁ = 4 – 2 = 2

Suku ke-₁ = 2 = a

Suku ke-₂ = 4 = a+b   =  2 + 2

Suku ke-₃ = 6 = a + 2b  = 2 + 2.2

Suku ke-₄ = 8 = a + 3b = 2 + 3.2

Suku ke-₅ = 10 = a + 4b = 2 + 4.2

Suku ke-₆ = 12 = a + 5b = 2 + 5.2

Suku ke-_n = a + (n-1).b

Sehingga, Rumus suku ke-_n

U_n = a + (n-1).b

Keterangan:

• U_n = Suku ke-_n
• a = suku pertama
• b = beda
• n = bilangan bulat

Sekarang mari kita rumuskan jumlah suku-sukunya (Deret Aritmatikanya)

2       4        6        8        10        12

S₂ = 2 + 4 = 6 = $latex \frac{2}{2} $ ( 2 + 4) = $latex \frac{n}{2} $ (a + U₂)

S₃ = 2 + 4 + 6 = 12 = $latex \frac{3}{2} $ ( 2 + 6) = $latex \frac{n}{2} $ (a + U₃)

S₄ = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 = $latex \frac{4}{2} $ ( 2 + 8) = $latex \frac{n}{2} $ (a + U₄)

S₅ = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 = $latex \frac{5}{2} $ ( 2 + 10) = $latex \frac{n}{2} $ (a + U₅)

S₆ = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42 = $latex \frac{6}{2} $ ( 2 + 12) = $latex \frac{n}{2} $ (a + U₆)

sehingga dapat disimpulkan bahwa

S_n = $latex \frac{n}{2} $ (a + U_n)

dengan mengubah Un menjadi a + (n-1)b , maka :

S_n = $latex \frac{n}{2} $ (a + U_n)

S_n = $latex \frac{n}{2} $ (a + (a + (n-1)b)

S_n = $latex \frac{n}{2} $ (2a + (n-1)b)

Untuk lebih mengingat rumus di atas, saya ingin mengajak kamu untuk mempelajari sedikit kisah tentang penemuan rumus tersebut.

Bermula dari seorang tokoh Carl Friedrich Gauss yang ketika masih kecil saat kira-kira  umur 10 tahun, ia membuat gurunya terkagum-kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu deret aritmetika berupa penghitungan deret 1+2+3+…+100.

Di sekolahnya, Gauss dikenal merupakan anak yang dapat dikatakan seorang pembuat masalah, tetapi juga merupakan orang yang memiliki kemampuan memecahkan masalah. Pada saat itu, gurunya memberikan soal sulit pada anak muridnya yang juga termasuk Gauss di dalamnya. Saat itu Gauss terbilang masih muda untuk menyelesaikan soal perhitungan 1+2+3+4+…+100.

Gurunya bermaksud memberikan soal ini agar sang guru tak perlu mengajar dan dapat beristirahat. Dia yakin bahwa untuk menyelesaikan soal tersebut, butuh waktu lama. Namun, ternyata Gauss berhasil memecahkannya dalam waktu yang cepat. Sang guru pun terkagum-kagum dengan hasil pemecahan Gauss yang cepat dan tepat.

Kurang lebih, Si Gauss kecil menggunakan cara seperti di bawah ini untuk menghitung jumlah 100  deret bilangan tersebut:

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101

dan seterusnya

sampai dengan

50 + 51 = 101

Jadi, jumlahnya totalnya menjadi 50 x 101 = 5.050

Dari cara tersebut, maka dapat diringkas menjadi

S₁₀₀ = $latex \frac{100}{2} $ (1 + 100)

Sehingga

S_n = $latex \frac{n}{2} $ (a + U_n)

Nah, mudah bukan?

Untuk mengingat rumus tersebut, ingat cerita tentang Si Gauss tadi ya…

3# Contoh Soal Tentang Barisan dan Deret Aritmatika

1 . Diketahui suatu barisan 5, -2, -9, -16,…., maka tentukanlah rumus suku ke-_n nya!

Jawab :

Selisih 2 suku berurutan pada barisan 5, -2, -9, -16,… adalah tetap, yakni b = -7 sehingga barisan bilangannya disebut dengan barisan aritmatika.

Rumus suku ke – n barisan aritmatika tersebut ialah :

U_n = a + ( n – 1 ) b
U_n = 5 + ( n – 1 ) ( -7 )
U_n = 5 – 7n + 7
U_n = 12 – 7n

2. Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut.
10, 13, 16, 19, 22, 25, ….

Tentukan suku ke-₁₄ dari barisan aritmatika tersebut!

Jawab:

Diketahui :

a = 10

b = 13 – 10 = 3

Untuk menentukan suku ke-₁₄ barisan aritmatika tersebut, maka kita gunakan rumus

U_n = a + (n-1)b

U₁₄ = 10 + (14 – 1)3

U₁₄ = 10 + 13. 3

U₁₄ = 10 + 39

U₁₄ = 49

Jadi, suku ke-14 dari barisan aritmatika tersebut adalah 49.

3. Hitung jumlah dari suku ke-₅ (S₅) dari deret berikut : 3, 4, 5, 6, ….?
Jawab :
Diketahui :
a = 3
b = 4-3 = 5-4 = 1
n = 5
Ditanya : Jumlah suku ke-5 (S5) ?
Penyelesaian :
U_n = a + (n-1) b
= 3 + (5-1)1
= 3 + 4
= 7
S_n = 1/2 n ( a + U_n )
S₅ = 1/2 .5 (3 +7)
= 5/2 (10)
= 25
Jadi jumlah suku ke-₅ dari deret tersebut : 25 .

4. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke-₇ adalah 33 dan suku ke-₁₂ adalah 58.
Tentukan :

a). Suku pertama (a) dan beda (b)
b). Besarnya suku ke-₁₀

Jawab :
Diketahui :
U₇ = 33
U₁₂ = 58
Penyelesaian :
a). U₇ = a + (7-1)b
33 = a + 6b
U₁₂ = a + (12-1)b
58 = a + 11b
Lakukan metode subtitusi pada kedua persamaan tersebut.
58 = a + 11b
33 = a + 6b (-)
25 = 5b
b = 25/5
b = 5

33 = a + 6b
33 = a + 6.(5)
33 = a + 30
a = 33 – 30
a = 3

Jadi, a = 3 sedangkan b = 5

b). U_n = a + (n-1) b
U₁₀ = 3 + (10-1). 5
= 3 + (9).5
= 3 + 45
= 48

Jadi, suku ke-₁₀ dari deret tersebut adalah 48

4# Kuis Deret Aritmatika

Nah, kali ini mari kita lihat seberapa besar daya serap kamu dalam memahami materi deret ini dengan cara mengerjakan secara mandiri kuis berikut ini.

Aturan mengerjakan kuis:

• 1. Kuis berbatas waktu
• 2. Klik salah satu pilihan jawaban yang paling benar
• 3. Jika jawabanmu benar, maka opsi jawaban akan berwarna hijau
• 4. Jika jawabanmu salah, maka opsi jawaban akan berwarna merah

Setelah memahami aturan main dalam mengerjakan kuis ini, silakan klik tombol MULAI KUIS

Apalagi Selanjutnya?

Saya ucapkan selamat karena telah menyelesaikan materi dan kuis tentang deret aritmatika di atas.

Kini saatnya bagi kamu yang ingin latihan dan mempelajari materi tentang TES CAT CPNS kami telah menyediakan kursus CPNS Onlinenya.

Linknya kami sediakan di pada tombol di bawah ini:

Selanjutnya, jika kamu merasa materi dan latihan soal seperti ini bermanfaat, silakan share pada teman, saudara, atau tetanggamu agar mereka juga mendapatkan banyak manfaat dari tulisan ini.

Semoga sukses selalu untuk kita bersama,

Salam cerdas, LUAR BIASA!

Wiji Hatmoko